群から圏へ


集合 X から X への全単射を X 上の置換 (permutation) という. X 上の置換の集合 G でつぎをみたすものを,X 上の置換群という:
 1. g, h∈G ⇒ gh∈G,
 2. IdX∈G,
 3. g∈G ⇒ g-1∈G.
たとえば X 上の置換すべての集合は置換群である.


G を X から自立させたものが群 (group) である. G の元が写像であったことをわすれる,といってもよい.
すなわち集合 G にたいし,
 1. 写像 m : G×G → G, (g, h)→gh が (gh)k=g(hk) をみたし,
 2. 元 1∈G が 1g=g1=g をみたし,
 3. 各 g∈G にたいし g-1∈G があって g-1g=gg-1=1 をみたすとき,
(G, m, 1) を群という. 略してたんに群 G ともいう.

m を群の演算,1 を単位元,g-1 を g の逆元という. 上の 1, 2, 3 を群の公理という.

置換群は,演算を写像の合成,単位元を恒等写像,逆元を逆写像として,群になる.


群の一般化には,monoid と亜群 (groupoid) の2つの方向があり, 両方向に一般化したものとして圏 (category) がある.


群の公理から逆元の存在をはずしたものが monoid である.

すなわち集合 M にたいし,
 1. 写像 m : M×M → M, (g, h)→gh が (gh)k=g(hk) をみたし,
 2. 元 1∈M が 1g=g1=g をみたすとき,
(M, m, 1) を monoid という.

集合 X から X への写像からなる集合 M で
 1. g, h∈M ⇒ gh∈M,
 2. IdX∈M
をみたすものは monoid になる.


置換群を集合 X が複数ある場合に拡張してみる.

集合の族 {Xλ} があたえられ, これに属する Xλ, Xμ にたいし, Xλ から Xμ への全単射を元とするある集合 Γλμ がさだまってつぎをみたすとする:
 1. h∈Γλμ, g∈Γμν  ⇒ gh∈Γλν,
 2. IdXλ∈Γλλ,
 3. g∈Γλμ  ⇒ g-1∈Γμλ.

Γλμ の元が写像であったことをわすれることにより, 亜群の概念をえる.

すなわち,族 {Xλ} に属する Xλ, Xμ にたいし, 集合 Γλμ がさだまって,
 1. 写像 mλμν : Γλμ×Γμν → Γλν, (h, g)→gh が (gh)k=g(hk) をみたし,
 2. 元 1λ∈Γλλ が 任意の g∈Γλμ にたいし 1μg=g1λ=g をみたし,
 3. 各 g∈Γλμ にたいし g-1∈Γμλ があって, g-1g=1λ, gg-1=1μ をみたすとき,
Γ=({Xλ}, {Γλμ}, {mλμν}, {1λ}) を亜群という.


これら2つの一般化をあわせたものが圏である.

集合の族 {Xλ} があたえられ, これに属する Xλ, Xμ にたいし, Xλ から Xμ への写像を元とするある集合 Cλμ がさだまってつぎをみたすとする:
 1. h∈Cλμ, g∈Cμν  ⇒ gh∈Cλν,
 2. IdXλ∈Cλλ.

Cλμ の元が写像であったことをわすれることにより, 圏の概念をえる.

すなわち,族 {Xλ} に属する Xλ, Xμ にたいし, 集合 Cλμ がさだまって,
 1. 写像 mλμν : Cλμ×Cμν → Cλν, (h, g)→gh が (gh)k=g(hk) をみたし,
 2. 元 1λ∈Cλλ が 任意の g∈Cλμ にたいし 1μg=g1λ=g をみたすとき,
C=({Xλ}, {Cλμ}, {mλμν}, {1λ}) を圏という.


各 Xλ を C の対象 (object), Cλμ の元を Xλ から Xμ への射 (morphism) という. g∈Cλμ にたいし, g-1∈Cμλ があって g-1g=1λ, gg-1=1μ をみたすとき, g を同型 (iso) という.

対象がただ1つである圏が monoid, 射がすべて同型である圏が亜群,両方をみたす圏が群である.


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