大阪表現論セミナー(2010年度)

関西の表現論研究者と連携して推進し,下記講演が行われますのでご案内申し上げます。
多くの皆様のご来聴をお待ち申し上げております。

主催 大阪市立大学数学研究所
プログラム責任者 大阪大学:有木
大阪市立大学:谷崎・兼田
場所 大阪市立大学文化交流センター
日時 2月17日(木)18:00~20:00
講演者(所属) 榎本 直也(京都大学 理学研究科 数学教室)
タイトル 曲面の写像類群におけるJohnson余核のSp-加群構造について
場所 大阪市立大学文化交流センター(大阪駅前第2ビル6階)小セミナー室
アブストラクト 境界を1つ持つ種数gの向き付けられたコンパクトリーマン面$\Sigma_{g,1}$の写像類群$M_{g,1}$は、$H_1(\Sigma_{g,1},Z)$に自明に作用するTorelli部分群とよばれる部分群を持ち、その商はSp(2g,Z)と同型になる。 Torelli部分群のJohnson filtrationの次数商を自由Lie代数の微分代数へ移すJohnson準同型は、Torelli部分群の構造を調べるための重要な道具のひとつであり,言わばTorelli群の近似物を記述していると考えられる。その後、 森田茂之氏によってJohnson準同型の像がある次数付き部分Lie代数$\mf{h}_{g,1}$に埋め込まれることが示され、その余核の次数k-部分(k:奇数)にSp-既約表現[k]が含まれることがわかった。これは森田障害と呼ばれている。 本講演では、自由群の自己同型群におけるJohnson準同型とその余核のGL(あるいはSp)-構造をもとに、Sp-既約表現[1^k]が曲面の写像類群のJohnson余核の次数k-部分($k\equiv 1 (mod 4)$に重複度1で現れることを 紹介し、Johnson余核のSp-加群構造についてひとつの予想を述べたい。なお、これは佐藤隆夫氏(京大理)との共同研究であり、arXiv:1012.2175およびarXiv:1012.2169で公表している内容である。
日時 2月9日(水)18:00~19:30
講演者(所属) 直井克之 (東京大学大学院数理科学研究科 博士三年)
タイトル Weyl module, Demazure moduleとfundamental representationのcrystal basisの関係について
場所 大阪市立大学文化交流センター(大阪駅前第2ビル6階)小セミナー室
アブストラクト fundamental representationはquantum affine algebraの有限次元表現であり、crystal basisを持つことが知られている。このcrystal basisのテンソル積上には、energy functionと呼ばれる整数値の関数が定義される。一方 Weyl moduleは生成元と関係式によって定義されるcurrent algebra(単純リー代数と多項式環テンソル積)の有限次元表現である。今回の講演ではfundamental representationのcrystalbasisのテンソル積のenergy functionこみのweight sumがWeyl moduleのcharacterと一致する、という結果について紹介する。また、今回の結果とX=M予想との関係についても紹介する。ここでX=M予想とは、Kirillov-Reshetikhin crystalのテンソル積の enegy functionこみのmultiplicityとfermionic formulaと呼ばれる多項式が一致する、という予想である。
日時 1月11日(火)15:30~17:30
講演者(所属) John Enyang (Melbourne)
タイトル Jucys--Murphy elements and representations of partition algebras
場所 大阪市立大学文化交流センター(大阪駅前第2ビル6階)小セミナー室
アブストラクト Using a presentation for the partition algebras given by Halverson and Ram, we provide a recursive definition for a large family of commuting (Jucys--Murphy) elements in the partition algebras, and an integral Murphy-type basis for the partition algebras, with respect to which the commuting family acts triangularly. Schur--Weyl will show that this recursively defined commuting family of Jucys-Murphy elements coincides exactly with the family of commuting elements given diagrammatically by Halverson and Ram. Our presentation will conclude with a discussion of further applications of the Jucys--Murphy elements to the study of the representations of the partition algebras.
日時 12月15日(水)18:00~19:30
講演者(所属) 佐垣大輔氏(筑波大学)
タイトル Mirkovic-Vilonen 多面体のテンソル積と Minkowski 和について
場所 大阪市立大学文化交流センター(大阪駅前第2ビル6階)小セミナー室
アブストラクト 本講演の内容は以下の加藤周氏, 内藤聡氏との共同研究に基づくものである.
[KNS1]
S. Kato, S. Naito, and D. Sagaki, Polytopal estimate of Mirkovi\'c-Vilonen polytopes lying in a Demazure crystal, preprint 2009, arXiv:0912.0586, to appear in Adv. Math.
[KNS2]
S. Kato, S. Naito, and D. Sagaki, Tensor products and Minkowski sums of Mirkovi\'c-Vilonen polytopes, preprint 2010, arXiv:1010.0777.
$g$ を複素数体 $C$ 上の有限次元単純リー代数とし, $g^{\vee}$ をその (Langlands) 双対リー代数とする. $g^{\vee}$ の優整ウェイト$\lambda$ に対して, "highest vertex" が $\lambda$ であるようなMirkovic-Vilonen (MV) 多面体のうち, $W\lambda$ ($W$ は $g$ のWeyl 群) の閉包に含まれるもの全体の集合を $mv(\lambda)$ で表すことにする. このとき, 次の事実が成り立つことが知られている.
[事実 (Kamnitzer)]
集合 $mv(\lambda)$ には, 量子普遍展開環 $U_{q}(g^{\vee})$ 上の最高ウェイト $\lambda$ の既約最高ウェイト加群の結晶基底に同型なクリスタルの構造が入る.
さて, $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$ を $g^{\vee}$ の優整ウェイトとし, $P_{1} \in mv(\lambda_{1})$, $P_{2} \in mv(\lambda_{2})$とする. このとき, 上の定理より, テンソル積 $P_{1} \otimes P_{2}$を含む $mv(\lambda_{1}) \otimes mv(\lambda_{2})$ の連結成分は,ある優整ウェイト $\lambda$ に関する $mv(\lambda)$ と同型である.
そこで, $P_{1} \otimes P_{2}$ に対応する $mv(\lambda)$ の元を$P$ とおこう. 我々が示したのは次の定理である.
[定理]
上の記号の下で, $P$ は $P_{1}$ と $P_{2}$ の Minkowski 和$P_{1}+P_{2}$ に含まれる. つまり, $P \subset P_{1}+P_{2}$ が成り立つ.
論文 [KNS1] において我々は, $P_{1} \in mv(\lambda_{1})$ がextremal 元の場合に上の定理を示した. その後, 最近の論文 [KNS2] において, [KNS1] とは別の方法で, $P_{1}$ が一般の場合に上の定理を証明することに 成功した. 本講演では, 主に [KNS2] の内容について,(組合せ論的な部分を中心に, 可能ならば証明等も含めて) 解説したいと思う.
日時 11月19日(金)15:30~17:30
講演者(所属) Ben Webster (University of Oregon)
タイトル Quiver Schur algebras and q-Fock space (joint w/ C. Stroppel)
場所 大阪市立大学文化交流センター(大阪駅前第2ビル6階)小セミナー室
アブストラクト Starting with Lusztig's original construction of the canonical basis, the categorification of structures in Lie theory has had a close tie to canonical basis theory. I'll talk about pictorial categorifications (building on the work of Rouquier, Chuang, Khovanov and Lauda) and show how this philosophy can be applied to arrive at a pictorial categorification of certain q-Fock spaces. Even though these are purely algebraic objects, they have close ties to the geometry of moduli spaces of cyclic quiver representations. I'll discuss how produce an isomorphism between these categorifications and cyclotomic q-Schur algebras, giving a graded presentation of these algebras, closely related to that given by Brundan and Kleshchev for Hecke algebras at roots of unity. This allows us to construct a bar involution on these q-Fock spaces whose associated canonical basis corresponds to indecomposable projective modules over the cyclotomic q-Schur algebra.
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日時 10月27日(水)18:00~20:00
講演者(所属) Hans-J. Schneider
タイトル Representation theory of pointed Hopf algebras and generalized quantum groups
場所 大阪市立大学文化交流センター(大阪駅前第2ビル6階)小セミナー室
アブストラクト Around 1985 Drinfeld and Jimbo introduced the classical quantum groups which are one-parameter deformations of the universal enveloping algebra of a semisimple Lie algebra. These algebras are integral domains with finite Gelfand-Kirillov dimension, and as Hopf algebras they are pointed and their infinitesimal braiding is generic.
Conversely, it can be shown that Hopf algebras satisfying these properties can be explicitly described be a generic datum and a linking parameter introduced in joint work with N. Andruskiewitsch. Important special cases of these generalized quantum groups are the multiparameter deformations of the universal enveloping algebra of a semisimple Lie algebra. In joint work with N. Andruskiewitsch and D. Radford we added a further axiom to the list of abstract properties of quantum groups. We characterized those generalized quantum groups which have the property that all finite-dimensional modules are semisimple. Extending results of Lusztig's book on quantum groups we developed the representation theory of a large class of pointed Hopf algebras.
日時 6月30日(水)18:00~20:00
講演者(所属) 黒木玄 (東北大学)
タイトル 量子群と Painlev\'e 系の Weyl 群対称性の量子化
場所 大阪市立大学文化交流センター(大阪駅前第2ビル6階)小セミナー室
アブストラクト 以下の話は論文 arXiv:0808.2604 に基づく.
野海と山田は論文 arXiv:math/0012028 で任意の一般化された Cartan 行列(GCM) に対して定まるある自然なべき零 Poisson 代数の分数体に Weyl 群が自然に Poisson 作用していることを示した(Poisson構造を保つ Weyl群の双有理作用の構成).
この Weyl 群双有理作用は Painlev\'e系 (古典的な Painlev\'e 微分方程式の一般化) の Weyl 群対称性にあたるものだと考えることもできるし, GCM が affine 型であるとき Weyl 群の格子部分の作用を離散化された Painlev\'e 系とみなすこともできる.
したがって, もしこの Weyl 群双有理作用が量子化されたならば,量子 Painlev\'e 系の Weyl 群対称性にあたるものが構成されたと考えることもできるし, 離散化された量子 Painlev\'e 系が構成されたとみなすこともできる.
この話では野海・山田の Weyl 群双有理作用のq差分版の量子化を量子群(より正確に言えば量子展開環)を用いて構成する.
対称化可能 GCM に付随する量子展開環の下三角の Chevalley 生成元を F_i と書くとき, 量子化された Weyl 群双有理作用は F_i の非整数べきの作用によって自然に構成される.
Kac-Moody Lie 代数の展開環で同様の構成を行なうと, q差分版ではない量子化された Weyl 群双有理作用が得られる.
こちらのq差分版ではない方の作用の古典極限が> > 野海・山田の Weyl 群双有理作用になっている.
つまり, 量子展開環を用いた構成は量子化とq差分化を同時に行なったものになっている.
さらに, 長谷川が論文 arXiv:math/0703036 の第1~3節で構成したq差分版の量子 Weyl 群双有理作用も同様の方法(F_iの非整数べきの作用を使う方法)で再構成することができる.
以上のように Painlev\'e 系の世界における Weyl 群双有理作用の裏にはChevalley 生成元 F_i の非整数べきの作用という単純な構造が隠れているようだ.
時間があれば Painlev\'e 系の量子化の状況についても説明したい.
日時 5月19日(水)18:00~20:00
講演者(所属) Toshiro Kuwabara (RIMS, Kyoto Univ.)
タイトル Representation theory of the rational Cherednik algebra of type Z/ lZ via microlocal analysis
場所 大阪市立大学文化交流センター(大阪駅前第2ビル6階)小セミナー室
アブストラクト Starting from the Beilinson-Bernstein correspondence for sl_2, we discuss on a certain generalization of it. The main object is the rational Cherednik algebra of type Z / lZ. It coincides with Smith's generalization of U(sl_2) and the finite W-algebra associated with the Lie algebra sl_l and its subregular nilpotent element. While the classical Beilinson-Bernstein correspondence for sl_2 is based on the theory of D-modules on P1, our generalization is based on the theory of microlocal analysis on the minimal resolution of the Kleinian singularities of type A, which is so called the theory of the Deformation-Quantization algebras. This construction is analogue of the work of Kashiwara and Rouqueir.
We consider the construction of the standard modules and irreducible modules of the rational Cherednik algebra through the Beilinson-Bernstein correspondence and study the representation theory of the algebra via microlocal analysis. In this case, we can describe their local structure explicitly. As counterparts of these modules, we have regular holonomic systems on the minimal resolution.
This talk is based on arXiv:1003.3407v1 [math.RT].
日時 4月22日(木)16:00~17:30
講演者(所属) Christian Kassel(Universit´e de Strasbour)
タイトル Flatness and freeness properties of the generic Hopf Galois extensions
場所 大阪市立大学文化交流センター(大阪駅前第2ビル6階)小セミナー室
アブストラクト To each Hopf algebra $H$ and each invertible two-cocycle $\alpha$, there is attached a subalgebra $\BB_H^{\alpha}$ of the free commutative Hopf algebra $S(t_H)_{\Theta}$ generated by the coalgebra underlying $H$; the algebra $\BB_H^{\alpha}$ is the subalgebra of coinvariants of a generic Hopf Galois extension. We give conditions under which $S(t_H)_{\Theta}$ is faithfully flat, or even free, as a $\BB_H^{\alpha}$-module. We also show that $\BB_H^{\alpha}$ is generated as an algebra by certain elements arising from the theory of polynomial identities for comodule algebras developped jointly with Aljadeff.
最終更新日: 2016年6月21日