市大数学教室

大阪市立大学大学院理学研究科数物系専攻 21世紀COEプログラム

結び目を焦点とする広角度の数学拠点の形成
(Constitution of wide-angle mathematical basis focused on knots)
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（平成１６年度までの）拠点形成活動実績

［当初目的に対する進捗状況］
ヒヤリングの際学長が表明して、15年9月に制度上立ち上げて理学研究科内に分散設置した数学研究所は、16年10月に学術情報総合センターに整備設置した。数学研究所に基づく研究を活性化させるための外部委員11人と研究所長・副所長からなる数学研究所研究推進委員会も発足し、17年4月には数学研究所開設記念講演会を開催する。外国人訪問研究者数も、15年度は10月以降で16人、16年度は国際会議開催もあり69人と多く、また国内研究者の訪問も多くあり、国際会議､研究集会、連続講義、クックセミナー等の各種セミナー、数学教室談話会等、活発な研究活動が繰り広げられている。

［研究活動の新たな学術的知見］
国際会議、研究集会、セミナー等種々の会合によりたくさんの新しい知見を得ている。結び目理論関連の大きな方向として、つぎの2点を挙げておく。1つ目はゲージ理論に基づく結び目理論（knot Floer homology 等）の展開が、結び目の4次元的側面の種々の未解決問題の解決に向けて、将来的に有望であることである。2つ目は　Grisha Perelman により解決されつつある(ポアンカレ予想の肯定的解決を含む)3次元多様体の幾何化に関するThurston program の解決に関するもので、この解決にはまだ検証すべきことがあるようであるが、この解決後には、結び目や絡み目のデーン手術表示で与えられる具体的な3次元多様体には、どのような幾何が実際に入るかという問題が重要になることを指摘しておきたい。

ホームページに掲載している（数学研究所運営会議委員10人の）「業績データ」を参照すればわかるように、事業推進担当者によっても多くの新しい知見が得られた。例えば、その中にはつぎのような結果も含まれている。
  1. 拠点リーダーは、すべての素な絡み目及びすべての3次元多様体の全く新しい分類法を導入した。この方法に関する田山育男氏との共同研究により、1970年にJ . H. Conwayが発表した有名な10交叉までの素な絡み目表には、7つの抜け落ちと1つの重複があることを発見した(A. Kawauchi and I. Tayama,"Enumerating prime links by a canonical order"　Journal of Knot Theory and its Ramifications, to appear)。この結果は当21世紀COEプログラム主催の国際会議"KOOK Seminar International"において発表され、この分類法の有効性が明らかになった。また拠点リーダーは、双曲的多様体に同相な2重分岐被覆をもつ結び目の個数に関するReni-Mecchia-Zimmermann予想を肯定的に解決した(A. Kawauchi, "Topological imitations and Reni-Mecchia-Zimmermann's conjecture", 投稿中）。この結果は、慶北大学（韓国）のトポロジーセミナーと「第３回日本・メキシコトポロジー国際会議」（於オアハカ/メキシコ）で発表された。

  2. 事業推進担当者の枡田幹也は、R. Stanley, "f-vectors and h-vectors of simplicial posets" J. Pure Applied Algebra 71(1991),319-331 の中の予想を肯定的に解決した（M. Masuda,"h-vectors of Gorenstein* simplicial posets"，Adv. Math., to appear)。これにより「球面の単体的セル分割の単体の数の特徴づけ」を完成させた。予想されていた結果の部分的解決はこれまであったが、完全な解決は十数年来なかった。この特徴づけ定理は、単体的凸多面体の面数を特徴づけたg-定理のトポロジー版といえるもので、トーリック多様体論のトポロジー版がアイデアの根底にある。したがって、単に予想を解決したのみならず、トポロジーと組合わせ論との新たな関係を見出したという意義もあり、今後この方面の研究の足がかりとなると期待できる。当論文のpreprintをarXivに掲載したところ、本論文のアイデアを用いた組合せ論的別証明が発見された(E. Miller-V. Reiner "Stanley's simplicial poset conjecture, after M. Masuda" http://www.math.umn.edu/~ezra/HVector/hvector.pdf)。

  3. アフィン・ヘッケ環の表現論は、80年代の Kazhdan-Lusztig や Ginzburg の研究に始まるが、最近では数理物理からの影響も受けて、現在に至るまで活発な研究が続けられている。この分野の代数的研究で重要な役割を果たす Kazhdan-Lusztig 基底と、幾何学的研究の基礎となっているある同変K群のフィルター付けの間に強い相関関係があることは、80年代に既に Ginzburg らにより予想されていた。比較的最近の Lusztig の論文においても、この予想に関する言及と共に関連する結果が述べられている。この予想自体に関しては長らく進展がなかったが、事業推進担当者の谷崎俊之は、A 型の場合に初めて証明を与えた（T. Tanisaki and N. Xi, "Kazhdan-Lusztig basis and a geometiric filtration of an affine Hecke algebra", 投稿中）。この方向での研究に重要な進展をもたらすものである。既に、共著者の Xi氏 により重要な応用も見いだされている。論文の謝辞にも述べられているとおり、この研究は Xi 氏がCOE教授として数学研究所に滞在中に行われた共同研究に基づいており、当21世紀COEプログラムの直接的成果として誇ることのできるものである。

［人材育成］
ハイレベルの若手の国際的な結び目理論研究者を育成するために、以下の計画を実行した。国際的研究者から推薦された国外13人、国内8人（留学生2人含む）の大学院学生の講演会「結び目理論に関する大学院学生の国際研究集会」を大阪市大で開催した。大学4回生と大学院学生のための「数学のための英語」講座を開講した。結び目関連のPD研究者に対しCOE上級研究所員、COE研究所員の全国公募・採用を行った。優秀なDC学生をCOE-RA(リサーチアシスタント)やCOE-TA(ティーチングアシスタント)として活用した。大学院学生達に考え方等を学ばせるために、ティータイム等を活用し研究所関係研究者達と研究レベルで積極的に接触する機会を設けた。大学院学生やPD研究者のセミナー参加と研究内容のレビューや大学院学生やPD研究者の海外研修の支援も行なった。40回以上開催されている（全国大学院学生の）「トポロジー新人セミナー」にも一部補助を行い、人材育成に努めた。大阪教育大学のグループと共同で、付属の小学校・中学校や一部の高校で結び目理論の授業を実現させる等、結び目理論の普及活動も行なった。

［有機的連携］
事業推進担当者が協力して、研究推進委員会外部委員等の協力も得ながら、外国の研究者の招聘や国際会議・研究会・談話会・セミナーの開催等のレベルの高い事業を行ってきたことは、ホームページの開示内容からも明らかであろう。我々はそれに止まらず、ティータイムを利用して、大学院学生、PD研究者、招聘研究者、訪問研究者、教員等様々な研究者が、アイデアのチェック、行き詰まり問題の相談、研究の進め方等で日常的に意見交換ができるような場所の設定を行い、有機的連携に勤めてきた。

［国際競争力］
2004年7月に開催した国際会議「KOOK Seminar International」は、予算の制約があり広報を控えめにして開催したが、それでも国外から優秀な専門家46人の参加があった（国内参加者77人）。｢第3回日本・メキシコトポロジー国際会議｣　(http://www.cimat.mx/~victor/jamex)(拠点リーダーが結び目理論分科会の日本側組織代表)においても、結び目理論分科会の講演会場にユネスコの世界文化遺産に登録された会場を使用させていただくなどの話題性もあり、講演内容も豊富でレベルも高かった。事業推進担当者やCOE（上級）研究所員は、多くの国際会議で招待講演を行い、多くの論文が国際的な専門の雑誌に出版受理された。これらは当拠点が国際的な競争力をもっていることを示す証といえよう。

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平成17年度以降の拠点形成実施計画
（具体的な計画は、諸般の事情により変更になることがあります。）
  1. 世界最高水準の研究・教育拠点としての数学研究所の完成
    当数学研究所の主要な目的の1つが、結び目関連情報が整っている、結び目に関する真理と美を深く追求する、世界中から結び目関連で是非とも共同研究をしたいと申し出てくる結び目研究の世界の中心となることである。この点では訪問者数が増加している現状を維持できるならば、世界最高水準の拠点に相応しい結び目に強い数学および関連科学の数学研究所が完成するものと考えるが、数学研究所を広範な数学の教育・研究の拠点とするための事業にも取り組んでいかなければならない。

  2. 数学研究所の事業
    17年4月開催の数学研究所の開設記念講演会を契機として、 数学研究所の研究推進委員会の外部委員11人の協力も得ながら、数学研究所を拠点とした活動を展開する。具体的には、毎年この研究所主催の国際研究集会を開催する。社会に対しては、高等学校・大阪市立大学連携数学協議会（略称連数協）を立ち上げて、小学生・中学生・高校生・大学生の数学に関する意識、知識、問題点等の調査、公開講座、研修会を行う。

  3. 結び目理論関連の研究動向把握と招聘計画
    事業の5年目に特集を予定していたがそれを前倒しして、17年度にDNA結び目関連の研究等結び目理論の諸科学への応用研究に積極的に取り組む。その理由は、この研究に関心をもつ大学院学生・研究者は多くいるが、従来の数学研究と比べて数学研究としての動機付け等で取り組みにくい面があり、日本では17年3月に出口哲生・今井正幸両氏主催の国際研究集会「結び目と高分子：ランダム結び目、物理的結び目、DNAの結び目」（於お茶の水女子大；拠点リーダー出席・講演）が企画されたが、諸外国（特に米国）に比べてあまり進展を見ていない点を重視した結果である。17年度にDNA結び目の数学研究の国際的な第一人者である米国の D. W. Sumners教授をCOE著名教授として招聘する。またそれに関連して結び目理論の諸科学への応用研究についての国際研究集会を開催し、数学問題の取りまとめを行う等によりこの課題に取り組む。またこのような事業の軌道修正が必要な場合には、速やかに機動的に対処する所存である。

  4. 数学研究所への教員の配置問題
    21世紀COEプログラムの学長の申請段階から、拠点形成目的に「本学では大学からの支援でCOEによる教員が配置され、事業終了後も当拠点に世界中から結び目関連で人が来続けるような世界的拠点としての環境が整うことが、当事業の成果として大いに期待できる。」と明記されており、また当初の拠点形成実施計画にも「任期制教員を配置する。」と明記されている。

  5. 結び目理論の普及
    16年度に当プログラムと大阪教育大学関係者の協力の下で、小学校・中学校・高校における結び目理論の教材化を行い、教育大学付属の小学校・中学校および一部の高校でその教材による授業が数回実施されたが、これはわが国初と思われるので、17年度にはその詳細な報告書を作成し、広く配布予定である。今後ともこのような努力を継続していく。

  6. 博士課程入学者数の増加
    自大学の大学院学生やPD研究者はもちろんのこと、クックセミナーメンバーの大学院学生やPD研究者をはじめできるだけ多くの大学院学生やPD研究者に対して、ハイレベルの若手の国際的研究者が育つように、今後とも教育・研究の奨励に努めていきたい。当数物系専攻の数学分野のみに定数があるわけではないが、後期博士課程の魅力を増やし、後期博士課程修了者の就職先の開拓に努め、博士課程入学者数の若干の増加を目指したい。

以上述べた事業は、情報開示のもとでなされる。
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平成17年度以降の年度別実施計画
（具体的な計画は、諸般の事情により変更になることがあります。）


(17年度の実施計画）
ヒヤリングの際学長が表明して、１５年９月に制度上立ち上げて理学研究科内に分散設置した数学研究所は、16 年10月に学術情報総合センターに整備設置した。17年4月には数学研究所開設記念講演会を開催予定である。17年度の研究・教育活動（招聘計画、日常の研究活動、セミナー・研究集会・シンポジウムの開催など）は、数学研究所開設の意義を高めて世界的研究拠点形成を確固としたものにするために、16年度以上に活発に展開するのみならず、今年度は特にＤＮＡ結び目関連の研究など結び目理論の諸科学への応用研究に積極的に取り組む。この研究に関心をもつ大学院学生・研究者は多くいるが、従来の数学研究と比べて数学研究としての動機付けなどで取り組みにくい面があり諸外国（特に米国）に比べてあまり進展を見ていない点を重視し、結び目理論の諸科学への応用研究についての数学問題の取りまとめを行うなど、５年目の特集を前倒しして組むことにした。情報開示のもとで拠点形成に必要な以下の事業を実施する。(1) 数学研究所の開設記念講演会の開催。(2)結び目理論関連研究者の招聘計画…ＤＮＡ結び目の数学研究の国際的な第一人者である 米国のD. W. Sumners教授のＣＯＥ著名教授招聘をはじめとして、有力なＣＯＥ教授の招聘、５人30日間と15人10日間の有力な外国の研究者の招聘を予定している。ＣＯＥ上級研究所研究員6名・(無給)研究所研究員6名の全国公募も行う予定である（6月から着任予定）。(3)日常の研究活動の奨励…大学院学生のＲＡ・ＴＡ(それぞれ2名）を採用する。大学院学生・ＰＤ・招聘研究者などのための意見交換の場を設定し「数学のための英語」講座も開講する。(4)各種セミナーや国際会議・シンポジウムの開催…ＣＯＥ著名教授の連続講義、ＣＯＥ教授やＣＯＥ上級研究所員の自主セミナー、ＣＯＥ（無給）研究所員や国内外の研究者達の研究会の開催、外国人招聘によるクックセミナーや拡大クックセミナーの開催、数学教室談話会の充実、「Intelligence of low dimensional topology」と「東北結び目セミナー」の開催、大学院学生の第42回「トポロジー新人セミナー」の支援、半年延期で17年夏開催となった「結び目理論に関する東アジアセミナー」（中国大連開催）を積極支援する。初めての日本・ニュージーランド会議「結び目理論とその関連」を、ニュージーランド生まれで数学におけるノーベル賞(ノーベル賞には数学部門は無い)といわれるフィールズ賞受賞者のV. Jones教授の出身大学(オークランド大学)で開催する。(5)結び目理論の普及…Sumners教授来訪（２月―３月）の準備として、日本におけるＤＮＡ結び目関連など結び目理論の諸科学への応用研究について、（民間を含む）いくつかの研究機関との共同研究の可能性を探求するとともに、数学問題の取りまとめを行う。また、１６年度に当プログラムと大阪教育大学関係者の協力の下で、小学校・中学校・高校における結び目理論の教材化を行い、教育大学付属の小学校・中学校・高校でその教材による授業が数回実施されたが、これはわが国初と思われるので、１７年度にはその詳細な報告書を作成し、広く配布予定である。

(18年度の実施計画）
数学研究所の外部評価を実施する。情報開示のもとで拠点形成に必要な以下の事業を実施する。有力なCOE教授の招聘、および多くの有力な外国の研究者の招聘を予定している。
ＣＯＥ上級研究所研究員６名以内・ＣＯＥ専任研究所員６名以内、ＣＯＥ兼任研究所員3名以内を全国公募により採用予定である。
日常の研究活動の奨励として、大学院学生・PD研究者・招聘研究者等のための意見交換の場を設定し｢数学のための英語｣講座も開講する。
また結び目理論の活動においても、大阪市大で第3回「結び目理論に関する東アジアスクール」の19年2月開催を予定している。18年3月開催の国際研究集会「Knot Theory for Scientific Objects」の論文集（レフェリー付き）は、１８年度単行本シリーズOCAMI Studies のVol.1として、学内経費により，出版予定である。COE著名教授の連続講義、COE教授やCOE上級研究所員の自主セミナー、COE研究所員や国内外の研究者達の研究会の開催、外国人招聘によるクックセミナーや拡大クックセミナーの開催、数学教室談話会の充実、「東北結び目セミナー」、｢Intelligence of low dimensional topology｣の開催、大学院学生のための第43回「トポロジー新人セミナー」の支援等の事業を予定する。また、5月29日から6月2日までの予定で、国際研究集会「トーリックトポロジー」（大阪市大世話人枡田 幹也拠点サブリーダー）を大阪市大で開催予定である。8月7日-10 日には「全日本トポロジーシンポジウム」（世話人枡田 幹也拠点サブリーダー、金信泰造事業推進担当者）を、また9月19日-22日には日本数学会秋季総合分科会（大会委員長河内明夫拠点リーダー・大会実行委員長今吉 洋一事業推進担当者）をそ れぞれ大阪市大で開催し、広範な数学の教育・研究の拠点化を目指す。

(19年度の実施計画）
情報開示のもとで拠点形成に必要な以下の事業を実施する。結び目理論関連研究者の招聘計画として、有力なCOE著名教授、COE教授の招聘、および30人10日間程度の有力な外国の研究者の招聘を予定する。日常の研究活動の奨励として、大学院学生・PD研究者・招聘研究者等のための意見交換の場を設定し｢数学のための英語｣講座も開講する。COE著名教授の連続講義、COE教授やCOE上級研究所員の自主セミナー、COE研究所員や国内外の研究者達の研究会の開催、外国人招聘によるクック セミナーや拡大クックセミナーの開催、数学教室談話会の充実、「東北結び目セミナー」、「Intelligence of low dimensional topology」の開催、大学院学生の第44回「トポロジー新人セミナー」への支援などの事業に取り組む。当初企画していた国際会議「第二回結び目理論国際会議」は、国内外で当拠点の結び目理論の事業と関連する４つの国際会議が行われるので、それらの国際会議を後押しすることにして，当拠点での結び目理論国際会議は将来へと延期することにした(この事態は当拠点の結び目理論の拠点化の進展よるものと評価している)。ここでいう国内の国際会議とは、第4回日本・メキシコトポロジー国際会議(京都大学数理解析研究所での共同開催，12月開催予定)、および第4回結び目理論に関する東アジアスクール(東京大学数理科学研究科での共同開催、１月開催予定)のことである。国外の国際会議とは、南フロリダ大学での国際会議 Knotting Mathematics and Art: Conference in Low Dimensional Topology and Mathematical Art（http://knotart.cas.usf.edu)(この会議では拠点リーダーは組織委員として協力)，および北京大学での国際会議 Conference on Geometric Topology (http://www.math.pku.edu.cn/gt2007)(この会議では拠点リーダーはアドバイザー委員として協力)のことである。また，大阪市大で開催予定の２つの国際会議「The 15th International Conference on Finite or Infinite Dimensional Complex Analysis and Applications｣(7月30日-8月3日)(大阪市大世話人今吉洋一事業推進担当者)、および国際会議「Progress of Quantum Field Theory and String Theory」(世話人糸山浩事業推進担当者)は当拠点の広角度の数学拠点形成のための事業として位置づけている。当数学研究所と研究協力協定を結んだ韓国の国立慶北大学の数学BK21　Mathematical Computation　Divisionおよび国立釜山大学の数学　BK21 Dynamic　Math　Center との共催で、大学院学生のための国際ワークショップを8月下旬に開催予定である。11月頃からは５年間の当該研究の報告等の整理を行うために規模を縮小するが、3月まで滞在する研究者も想定しており、研究の進展具合や要望による緊急のシンポジウムの開催も企画する等、活動を休止することはしない。特に最終年度として、数学研究所の将来展望のために、過去実施した事業や18年度実施の数学研究所の外部評価を考慮しつつ、自己評価を行う。

このような実績を積み重ねていくことにより、21世紀COEプログラム終了時点で、当数学研究所が国際的に見て〝結び目研究の伝統”をもつユニークでハイレベルの、数学全般に開かれた国際研究教育拠点の一歩を踏み出せるものと考えている。
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最終更新日: 2007年2月23日
(C)大阪市大数学教室