可換放物型概均質ベクトル空間の量子変形の統一的構成について述べる。（紙田敦史・森田良幸両氏との共同研究，Hiroshima Mathematical Journal, Vol 28(1998), 527--540）また，その $b$ 関数に関する紙田氏の最近の結果についても言及する．

Suppose that S is a surface with negative Euler characteristic. It is well known that S can be written as H^2/G where H^2 is the hyperbolic plane and G is a discrete, faithful representation of the fundamental group of S to the isometries of H^2. Such a group is called Fuchsian.

If we regard G as being a representation into the isometry group of H^3, hyperbolic 3-space, that happens to preserve a totally geodesic hyperplane then we can ask how it is possible to continuously deform G to other discrete, faithful representations of the fundamental group of S. Such groups are called quasi-Fuchsian and have been extensively studied.

In this talk we regard G as being a representation into the isometry group of complex hyperbolic 2-space, H^2_C, that happens to preserve a totally geodesic copy of the hyperbolic plane. There are two ways that this can happen. It may be that G preserves a complex line, that is a copy of the Poincare disc model, or it may be that G preserves a Lagrangian plane, that is a copy of the Klein-Beltrami disc model. We may ask whether it is possible to deform G to complex hyperbolic analogues of quasi-Fuchsian groups. It turns out that the answers are different in these two cases and also depending on whether or not S is closed or punctured. I will give a survey of the known results.

The talk will present a survey of harmonic function theory with respect to the Laplace-Beltrami operator

The Green's function $G$ and Poisson kernel $P$ for $\widetilde\Delta$ are derived. It is also shown how the Poisson integral $P[p](x)$ of a polynomial $p$ on $S$ may be "easily'' computed. The lecture will be self contained and should be accessible to anyone with a standard course in vector analysis. Several interesting open problems in this subject area will be indicated during the talk.

In this talk, based on joint work with Jane Gilman, I will present a new interpretation of the Gilman-Maskit discreteness algorithm for Fuchsian groups that relates Farey sequences for rational numbers with the self- intersection numbers of geodesics on the quotient surface. I will prove that the algorithm finds the Weierstrass points of the doubled quotient surface.

The aim of the talk will be to discuss distinguished representations over finite and p-adic fields: For a quadratic extension $K$ of a finite or local field $k$, and an algebraic group $G$ over $k$, an irreducible representation of $G(K)$ is called distinguished if it has a vector or a linear form invariant under $G(k)$. We will first discuss the case of finite fields and use the result to prove part of a conjecture of Jacquet about distinguished representations of $GL(n)$ and $U(n)$ for quadratic unramified extensions.

双正則写像がベルグマン計量に関して等距離的なのは， ベルグマン核が双正則 (写像に関する) 変換則をみたすからである. (詳しくは， ベルグマン核は $L^2$ 正則 $n$-形式のなすヒルベルト空間の再生核なので， 複素構造のみから定義される．即ち, $L^2$ 内積の定義に人工的なエルミート計量を補助的に使う必要はない.) この変換則を頼りに，領域が強擬凸で滑らかな境界をもつとき， ベルグマン核の局所双正則不変式論ができる. (詳しくは， ベルグマン核は境界からの距離函数に関して超幾何函数と似た特異性をもち， これは各境界点の近傍に局所化可能である． この特異性を熱核の漸近展開と比べると， リーマン幾何の不変式論とのアナロジーを追求できる.) この理論については，集中講義でやさしく説明する．

ゼゲー核の特異性を使っても，普遍定数が違うだけで， 同じ局所双正則不変式論が得られる. ただし，ゼゲー核は $L^2$ 境界値をもつ正則函数のなすヒルベルト空間の再生核なので， その定義は境界上の面素の選び方に依存する． つまり，面素を上手にとればベルグマン核と類似の双正則変換則が成り立ち， 不変式論ができるというわけである． なお，ゼゲー核はベルグマン核と同種の特異性をもつ．

ゼゲー核を再生核とするヒルベルト空間は正則函数より成るが， 位数が $1/2$ の $L^2$ ソボレフ空間の閉部分空間である． 同様に，位数が実数 $s$ の $L^2$ ソボレフ空間のなかで， 正則函数の集合は閉部分空間をなす． このヒルベルト空間の再生核を位数 $s$ の{\BF ソボレフ・ベルグマン核}と呼び $K^s$ と書くと, $K^s$ に対する不変式論をつくれるのだろうか? また，位数 $s$ に関する解析接続によって，ベルグマン核 $K^0$ とゼゲー核 $K^{1/2}$ (の不変式論) を統一的に理解できるか? これらの疑問が問題の出発点である． 最初に考えるべきことは，以下の三つであろう：

1. $K^s$ が変換則をみたすようにソボレフ内積を選ぶことができるか?
2. $K^s$ はベルグマン核 $K^0$ やゼゲー核 $K^{1/2}$ と同種の (局所化可能な) 特異性をもつか?
3. $K^s$ はソボレフ位数 $s$ に関して解析接続できるか?

これらについて，わかっていることと進行中のことを，初等的に解説したい．