3次元球面内の結び目の分類や幾何的・代数的性質の探求が結び目理論の中心課題である． 結び目は2次元球面に横断的な2重点を持つように射影され，その射影図に交差の上下の情報を加えた結び目ダイアグラムとその同値変形であるライデマイスター移動を用いて議論されることが多い． 1996年にKauffmanが，結び目ダイアグラムの通常の交点に加え，仮想的な交点も許した仮想結び目ダイアグラムを考え，一般化されたライデマイスター移動による同値類を仮想結び目として定義した． その後，仮想結び目については多くの研究がなされている． 本講義では通常の結び目と仮想結び目の，特に組み合わせ的な議論に関しての，性質について入門的な話をする．

キーワード：FOX彩色，Jones多項式，局所変形

モジュラー形式や保型表現は、現代の整数論の研究において最も重要な道具の一つである。 一変数の正則モジュラー形式の理論で最も重要な結果は、Deligneによって証明された Ramanujan予想である。これは、モジュラー形式のFourier係数の評価であり、保型表現 の言葉ではGL(2)の正則カスプ保型表現の不分岐な局所因子の佐武パラメーターが全て絶対値 が1であるという主張になる。ところが、多変数の正則モジュラー形式では同じ主張は成り立たない。 これには、斎藤・黒川リフトやDuke-Imamoglu-Ibukiyama-Ikedaリフトといった反例が 具体的に構成されている。

　Ramanujan予想にどれぐらいの反例があるかという問題については、今日ではArthurの 重複度公式という答えが得られているが、これは保型形式の存在性を主張する結果である。 一方で様々なリフトは構成法からFourier係数などの多くの情報が得られる。

　この集中講義では、正則保型形式について説明した後、近年に池田・山名によって表現論を 用いて再構成されたDuke-Imamoglu-Ibukiyama-Ikedaリフトについて解説する。 また、それの応用として得られる宮脇リフトについても紹介したい。